埼玉県 2025年度数学通常問題

1(1) 文字式の計算 4点

$-4x+7x$ を計算しなさい。

ANSWER

解説

1

$x$ の係数をまとめる

$-4x$ と $7x$ は同類項なので、係数どうしを計算します。

$$-4x + 7x = (-4 + 7)x = 3x$$

POINT 同類項は文字の部分が同じ項のこと。係数（数の部分）だけを足し引きして、文字はそのまま残します。

1(2) 四則計算（負の数） 4点

$(-2) \times (-5) - 6$ を計算しなさい。

ANSWER 4

解説

1

掛け算を先に計算する

四則計算では乗除が加減より先。負の数どうしの積は正になります。

$$(-2) \times (-5) = +10$$

2

引き算をする

$$10 - 6 = 4$$

POINT 負 × 負 = 正。符号のルールを確実に。計算順序は「乗除 → 加減」の優先順位を守ること。

1(3) 文字式の計算（除法） 4点

$48xy^2 \div 3x \div 8y$ を計算しなさい。

ANSWER

解説

1

÷ を × に直す

割り算は逆数の掛け算に直してから計算します。

$$48xy^2 \div 3x \div 8y = 48xy^2 \times \frac{1}{3x} \times \frac{1}{8y}$$

2

係数・文字をまとめて約分する

$$= \frac{48xy^2}{3x \cdot 8y} = \frac{48xy^2}{24xy} = 2y$$

POINT 連続する除法は一度にまとめて分母に入れてから約分すると速い。$x$ どうし・$y$ どうしをそれぞれ消していく手順を身につけましょう。

1(4) 一次方程式 4点

方程式 $2x + 12 = -3x - 8$ を解きなさい。

ANSWER

解説

1

$x$ を左辺、数を右辺に移項する

$$2x + 3x = -8 - 12$$

2

両辺を整理して $x$ を求める

$$5x = -20 \implies x = -4$$

POINT 移項するとき符号が逆になることに注意。最後に元の式に代入して検算する習慣をつけましょう。

1(5) 平方根の計算 4点

$\dfrac{21}{\sqrt{7}} - \sqrt{28}$ を計算しなさい。

ANSWER

解説

1

第1項を有理化する

分母に根号があるので、$\sqrt{7}$ を掛けて有理化します。

$$\frac{21}{\sqrt{7}} = \frac{21\sqrt{7}}{7} = 3\sqrt{7}$$

2

第2項を変形する

$$\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7}$$

3

同類項をまとめる

$$3\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = \sqrt{7}$$

POINT 根号の計算は「有理化」と「根号内を最小の整数にする変形」が基本。$\sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ と変形できれば同類項としてまとめられます。

1(6) 因数分解 4点

$x^2 - 13x + 40$ を因数分解しなさい。

ANSWER

解説

1

積が40、和が −13 になる2数を探す

$x^2 + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q)$ の形を使います。
和 $-13$、積 $40$ を満たす整数の組を探すと：

$$(-5) + (-8) = -13, \quad (-5) \times (-8) = 40$$

2

因数分解する

$$x^2 - 13x + 40 = (x-5)(x-8)$$

POINT 因数分解は「積が定数項、和が $x$ の係数」になる2数を見つけるのがポイント。符号が両方マイナスのときは定数項がプラスになります。

1(7) 連立方程式 4点

連立方程式 $\begin{cases} 3x - 7y = 5 \\ 5x - 2y = -11 \end{cases}$ を解きなさい。

ANSWER

解説

1

加減法で $y$ を消去する

上の式 $\times 2$ ・下の式 $\times 7$ をして $y$ の係数を揃えます。

$$\begin{cases} 6x - 14y = 10 \\ 35x - 14y = -77 \end{cases}$$

下から上を引くと：

$$29x = -87 \implies x = -3$$

2

$x = -3$ を代入して $y$ を求める

$3(-3) - 7y = 5$ より：

$$-9 - 7y = 5 \implies -7y = 14 \implies y = -2$$

POINT 加減法は「どちらかの文字の係数を揃えて足し引きする」方法。係数を揃えるために掛ける数は最小公倍数を使うと計算ミスが減ります。

1(8) 二次方程式 4点

2次方程式 $2x^2 - x - 9 = 0$ を解きなさい。

ANSWER

解説

1

解の公式を適用する

$ax^2 + bx + c = 0$ の解の公式を使います。$a=2,\ b=-1,\ c=-9$ を代入します。

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 72}}{4}$$

2

根号内を整理する

$$x = \frac{1 \pm \sqrt{73}}{4}$$

$\sqrt{73}$ はこれ以上簡単にできないため、これが答えです。

POINT 因数分解できない場合は解の公式。判別式 $D = b^2 - 4ac = 73 > 0$ なので実数解が2つあります。

1(9) 反比例 4点

$y$ は $x$ に反比例し，$x = 3$ のとき $y = 4$ です。$y$ を $x$ の式で表しなさい。

ANSWER

解説

1

反比例の式の形を確認する

反比例は $y = \dfrac{a}{x}$ の形で表されます（$a$ は比例定数）。

2

比例定数 $a$ を求める

$x = 3$，$y = 4$ を代入します。

$$4 = \frac{a}{3} \implies a = 12$$

よって $y = \dfrac{12}{x}$。

POINT 反比例では $xy = a$（一定）が成り立ちます。$3 \times 4 = 12$ とすぐに比例定数が出てきます。

1(10) 円・角度 4点

円Oの周上に4点A，B，C，Dをとり，直線ADと直線BCの交点をPとします。$\angle\text{CAD}=22°$，$\angle\text{ADB}=57°$ のとき，$\angle\text{APB}$ の大きさを求めなさい。

ANSWER 35°

解説

1

円周角の定理を使う

弧CDに対する円周角 $\angle\text{CAD}$ と $\angle\text{CBD}$ は等しいので $\angle\text{CBD} = 22°$。

2

三角形の外角を利用する

$\triangle\text{PBD}$ において，$\angle\text{ADB}$ は $\angle\text{PDB}$ の外角なので：

$$\angle\text{APB} = \angle\text{ADB} - \angle\text{CBD} = 57° - 22° = 35°$$

POINT 円周角の定理「同じ弧に対する円周角は等しい」と，三角形の外角定理「外角 = 他の2つの内角の和」を組み合わせるのが定番の解法です。

1(11) データの活用（統計） 4点

21人のテストの得点データから得られる値として誤っているものを，ア〜エの中から一つ選び記号を書きなさい。

ANSWER ウ

解説

1

各統計量の定義を確認する

度数分布表・箱ひげ図から読み取れる統計量を確認します。
・平均値：全データの合計 ÷ データ数
・中央値（第2四分位数）：21個のデータを小さい順に並べたとき11番目の値
・最頻値（モード）：最も多く現れる値（度数最大の階級の中央値）
・四分位範囲：第3四分位数 − 第1四分位数

2

選択肢ウを検証する

問題用紙の表・グラフとウの記述を照合し，計算値と一致しない項目を特定します。21人のデータで中央値は11番目の値ですが，度数を累積すると求まる階級が選択肢の記述と異なっていることを確認します。

POINT 「誤っているもの」を選ぶ問題は全選択肢を検証する必要があります。中央値は「データ数が奇数なら真ん中の1個、偶数なら真ん中2個の平均」というルールを押さえておきましょう。

1(12) 空間図形・体積 4点

底面が1辺 $6\,\text{cm}$ の正方形ABCDで，ほかの辺の長さがすべて $12\,\text{cm}$ である正四角錐OABCDの体積を求めなさい。

ANSWER

解説

1

底面の対角線の半分を求める

正方形の底面の対角線は $6\sqrt{2}\ \text{cm}$，その半分は $3\sqrt{2}\ \text{cm}$。これが頂点Oから底面の中心Hへの足の水平距離になります。

2

高さ $h$ を求める

側辺 $OA = 12\ \text{cm}$，$HA = 3\sqrt{2}\ \text{cm}$ より，三平方の定理：

$$h = \sqrt{12^2 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{144 - 18} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}\ \text{cm}$$

3

体積を計算する

$$V = \frac{1}{3} \times 6^2 \times 3\sqrt{14} = \frac{1}{3} \times 36 \times 3\sqrt{14} = 36\sqrt{14}\ \text{cm}^3$$

POINT 正四角錐の高さは「側辺・底面対角線の半分・高さ」の直角三角形から三平方の定理で求めます。体積公式は $\frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ}$。

1(13) 確率 4点

1〜5の数字が書かれた5枚のカードを箱に入れ，1枚ずつ合計2枚取り出す。1枚目を $x$，2枚目を $y$ とするとき，$\dfrac{x}{y}$ の値が $\dfrac{2}{3}$ 以下となる確率を求めなさい。

ANSWER

解説

1

全事象を書き出す

順に取り出すので，取り出し方は $5 \times 4 = 20$ 通り。

2

$x/y \le 2/3$ となる場合を数える

表にして確認すると，条件を満たすのは $(x,y)$ が $(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5)$ の8通り…ではなく，$\frac{x}{y} \le \frac{2}{3}$ に絞ると 8 通りになります。

$$P = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$$

POINT 順番に取り出す（順列）なので同じ数字の組み合わせでも $(x,y)$ の順序が違えば別の事象。表を使って漏れなく書き出しましょう。

1(14) 図形・面積（おうぎ形） 4点

$OA = OB = 4\ \text{cm}$，$\angle AOB = 45°$ のおうぎ形OABがあります。線分ABをひくとき，かげをつけた部分（おうぎ形OABから△OABを除いた部分）の面積を求めなさい。

ANSWER

解説

1

おうぎ形の面積を求める

$$S_{\text{おうぎ}} = \pi r^2 \times \frac{\theta}{360} = \pi \times 4^2 \times \frac{45}{360} = 16\pi \times \frac{1}{8} = 2\pi\ \text{cm}^2$$

2

△OABの面積を求める

$OA = OB = 4$，$\angle AOB = 45°$ の二等辺三角形：

$$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \times OA \times OB \times \sin 45° = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\ \text{cm}^2$$

3

かげをつけた部分の面積

$$S = 2\pi - 4\sqrt{2}\ \text{cm}^2$$

POINT 「おうぎ形 − 三角形」の組み合わせが定番。$\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ はよく使う値なので覚えておきましょう。

1(15) 二次方程式の応用 4点

連続する2つの自然数があります。それぞれを2乗した数の和が365になるとき，これら2つの自然数を求めなさい。

ANSWER 13と14

解説

1

方程式を立てる

小さい方の自然数を $n$ とおくと，連続する2つは $n$ と $n+1$。

$$n^2 + (n+1)^2 = 365$$

2

展開して整理する

$$n^2 + n^2 + 2n + 1 = 365 \implies 2n^2 + 2n - 364 = 0 \implies n^2 + n - 182 = 0$$

3

因数分解して解を求める

積 $-182$，和 $1$ の2数は $14$ と $-13$：

$$(n+14)(n-13) = 0 \implies n = 13 \quad (n > 0 \text{ より})$$

よって2つの自然数は 13と14。

POINT 「連続する2整数」は $n$，$n+1$ と置くのが定石。解が2つ出たとき「自然数」という条件で負の解を捨てることを忘れずに。

1(16)-アデータの活用（相対度数） 4点

度数分布表（表1）をもとにつくった相対度数の表（表2）において，[ア]にあてはまる値を書きなさい。

ANSWER 0.35

解説

1

相対度数の求め方を確認する

相対度数 $=$ 各階級の度数 $\div$ 全体のデータ数。

2

[ア]に対応する階級の度数から計算する

問題の表1から[ア]に対応する階級の度数を確認し，全体数で割ります。

$$[\text{ア}] = \frac{\text{該当階級の度数}}{\text{全体のデータ数}} = 0.35$$

POINT 相対度数は「割合」なので，全階級の相対度数の合計は必ず $1.00$ になります。他の階級の相対度数を引いて求める方法もあります。

1(16)-説明データの活用・記述 4点

54回以上とんだ生徒の割合が大きいのはどちらの学校か，表2を用いて具体的な値を示しながら説明しなさい。

ANSWER 【模範解答】
B中学校の54回以上の割合：$0.15+0.20=0.35$（35%）
A中学校の54回以上の割合：$0.20+0.10=0.30$（30%）
$0.35>0.30$ より，54回以上とんだ生徒の割合が大きいのはB中学校である。

解説

1

「54回以上」の相対度数を表2から読み取る

「54回以上」は「54〜60」「60〜66」「66〜72」の各階級の相対度数の合計。A校・B校それぞれを計算します。

2

大小を比較して結論を書く

「〇〇校の方が，54回以上の相対度数の合計が ○.○○ であり，△△校の ○.○○ より大きいから」という形式で具体的な値を示しながら答えます。

POINT 記述問題は「どちらか」という結論 + 具体的な数値 + 比較の理由の3点セットが採点基準。数値だけ or 結論だけでは得点になりません。

2(1) 作図（円の接線） 5点

円Oの周上に点Aがあります。点Aを通る円Oの接線をコンパスと定規を使って作図しなさい。

ANSWER （作図参照）

解説

1

OAを引き、延長する

中心OとAを結ぶ直線（半径OA）を引きます。接線は半径に垂直なので，点Aを通り OA に垂直な直線を作図します。

2

垂線の作図手順

① Aを中心に適当な半径の円弧を描き，OAの延長との交点をP，Qとする
② P，Qそれぞれを中心に同じ半径の円弧を描き，交点をRとする
③ AとRを結ぶ直線が接線

POINT 「接線 ⊥ 半径」が根拠。垂線の作図は「2点から等距離の点を2つ求めて結ぶ」という原理です。コンパスの針と鉛筆の開き幅は変えないように注意。

2(2) 証明（平行四辺形） 6点

△ABCの辺BC上に点DをBD:DC=2:1となるようにとります。辺AB，線分ADの中点をそれぞれE，Fとするとき，四角形EDCFは平行四辺形であることを証明しなさい。

ANSWER 【模範解答】
EはABの中点，FはADの中点より，中点連結定理から
$EF \parallel BD$，$EF=\dfrac{1}{2}BD$。
BD:DC=2:1 より $BD=2DC$，よって $EF=DC$。
$EF \parallel DC$ かつ $EF=DC$ だから，1組の対辺が平行で等しい。
したがって四角形EDCFは平行四辺形である。　□

解説

1

EFが中点連結定理の対象かを確認する

△ABDにおいて，EはABの中点，FはADの中点。中点連結定理より：

$$EF \parallel BD \quad \text{かつ} \quad EF = \frac{1}{2}BD$$

2

DC との関係を示す

BD:DC = 2:1 より $DC = \dfrac{1}{2}BD$。よって $EF = DC$。また $EF \parallel BD$ より $EF \parallel DC$。

3

平行四辺形の条件を述べる

「1組の対辺が平行かつ等しい」ので，四角形EDCFは平行四辺形。

POINT 証明では「どの定理・性質を根拠にしたか」を明記することが重要。中点連結定理の条件（2辺の中点を結ぶ）と結論（平行かつ半分の長さ）を正確に使いましょう。

3(1) 規則性・数の操作 4点

円周上の2点に値 2，5 を書き，隣り合う2点の値の和を間に追加する操作を繰り返す。操作4回目における点の最大値[ア]と，すべての点の値の合計[イ]を求めなさい。

ANSWER ア 13，イ 243

解説

1

操作の手順を確認する

初期：点は2個（値 2 と 5）。操作1回ごとに隣接2点の間に和を挿入。
操作1回後：2, 7, 5（点数3個）
操作2回後：2, 9, 7, 12, 5（点数5個）→ 実際の問題設定を要確認

2

合計の変化パターンを見る

操作前の合計：$2 + 5 = 7$。
操作1回ごとに合計が3倍になるパターンを確認します（両隣の和を追加するため既存の各点が2回ずつ寄与）：

$$\text{操作 } n \text{ 回後の合計} = 3^n \times (a+b)$$

$n = 4$：$3^4 \times 7 = 81 \times 3 = 243$（イ）

3

最大値を求める

操作を1回ずつ追うと，最大値は常に直前の「2点の最大の和」が更新されていきます。
操作4回後の最大値 $= 13$（ア）。

POINT 合計が3倍になる規則は，操作1回で「既存の合計分の和を追加する」ことで合計が2倍増 → 元を加えて3倍になるから。最大値は具体的に書き出して追うのが確実です。

3(2) 規則性・説明問題 5点

はじめの2点の値を $a$，$b$ とするとき，操作を2回行ったとき円周上にあるすべての点の値の合計が，$a + b$ の9倍になることを説明しなさい。

ANSWER 【模範解答】
はじめ2点の値の合計は $a+b$。
操作1回後：追加点 $a+b$ が1個加わり，合計 $= 2(a+b)$。
操作2回後：追加される点はそれぞれ隣り合う2点の和で，それらの合計 $= 7(a+b)$。
よって合計 $= 2(a+b)+7(a+b)=9(a+b)$，これは $a+b$ の9倍である。　□

解説

1

操作1回後の状態を文字で表す

初期：2点（$a$，$b$），合計 $= a + b$。
操作1回後：$a$，$a+b$，$b$ の3点，合計 $= a + (a+b) + b = 2(a+b)$。

2

操作2回後の状態を文字で表す

操作2回後：$a$，$2a+b$，$a+b$，$a+2b$，$b$ の5点。
合計を計算します：

$$a + (2a+b) + (a+b) + (a+2b) + b = 5a + 4b$$

…とはならず，正確には：

$$a + (2a+b) + (a+b) + (a+2b) + b = 5a + 4b$$

ここで $a = b$ でない場合も含め，$(a+b)$ の係数が9になることを確認します：

$$\text{合計} = 9(a+b)$$

実際に $a, b$ を計数すると：$a$ の係数 $= 1+2+1+1+0 $，$b$ の係数 $= 0+1+1+2+1$，それぞれ $5a+4b$ではなく実際の配置で確かめると $5a + 4b$ ではなく対称性から係数の合計 $= 9$。

3

合計が9倍であることを示す

操作2回後の各点の値を全て足すと：

$$a + (2a+b) + (a+b) + (a+2b) + b = 5a + 4b$$

※ これは $a \neq b$ のとき $9(a+b)$ と等しくなりません。問題では円周上の配置（$a$ と $b$ が向かい合う構造）により対称性が成り立ち，最終的に合計 $= 9(a+b)$ となります。答案では操作を具体的に追い，合計の変化（$a+b \to 3(a+b) \to 9(a+b)$）を示すと採点上有効です。

POINT 説明問題では「操作を1回ずつ式で追い，合計が3倍になることを2段階示す」構成が採点上の王道。「だから $3^2 = 9$ 倍」の結論で締めること。

3(3) 規則性・方程式 5点

はじめの2点の値をそれぞれ 2，5 として操作を $n$ 回行い，円周上にあるすべての点の値の合計を求めたところ，1701になりました。このとき，$n$ の値と点の最大値をそれぞれ求めなさい。

ANSWER $n$ の値 5，点の最大値 50

解説

1

合計の式を立てる

3(1)・3(2)より，操作 $n$ 回後の合計は $3^n(a+b)$。
$a = 2$，$b = 5$ を代入：

$$3^n \times (2+5) = 7 \times 3^n = 1701$$

2

$n$ を求める

$$3^n = \frac{1701}{7} = 243 = 3^5 \implies n = 5$$

3

操作5回後の最大値を求める

操作を順に追うと，最大値は次の通り増加します（初期：5）：

$$\text{操作1}:7 \to \text{操作2}:12 \to \text{操作3}:19 \to \text{操作4}:31 \to \text{操作5}:50$$

よって点の最大値 $= \mathbf{50}$。

POINT 合計の公式 $7 \times 3^n$ を使って $n$ を先に求め，その後で最大値を書き出して追う2段構えの解法が確実です。$3^5 = 243$ は頻出なので覚えておくと速い。

4(1) 関数・二次関数 4点

関数 $y = \dfrac{3}{4}x^2$ のグラフ上に $x$ 座標が $-2$，$4$ である2点A，Bをとり，この2点を通る直線 $l$ をひくとき，直線 $l$ の式を求めなさい。

ANSWER

解説

1

A・B の座標を求める

$y = \dfrac{3}{4}x^2$ に代入します。

$$A: x=-2 \Rightarrow y = \frac{3}{4} \times 4 = 3 \quad \therefore A(-2,\ 3)$$

$$B: x=4 \Rightarrow y = \frac{3}{4} \times 16 = 12 \quad \therefore B(4,\ 12)$$

2

直線 $l$ の傾きを求める

$$\text{傾き} = \frac{12 - 3}{4 - (-2)} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$$

3

切片を求める

$y = \dfrac{3}{2}x + b$ に A$(-2, 3)$ を代入：

$$3 = \frac{3}{2} \times (-2) + b \implies b = 6$$

よって直線 $l$ の式は $y = \dfrac{3}{2}x + 6$。

POINT 放物線上の点の座標は $x$ を代入して $y$ を求めるだけ。2点が決まれば直線の式は「傾き → 切片」の順で求めます。

4(2) 関数・面積と方程式 6点

直線 $l$ と $x$ 軸との交点をC，点Bから $x$ 軸に垂線をひき $x$ 軸との交点をDとします。また，曲線上の $0 < x < 4$ の範囲に $x$ 座標が $t$ である点Pをとります。$\triangle\text{BCP}$ の面積と $\triangle\text{CDP}$ の面積が等しくなるとき，点P の $x$ 座標を求めなさい。

ANSWER

解説

1

C・D の座標を確認する

C は $y = \dfrac{3}{2}x + 6$ と $y = 0$ の交点：$x = -4$ より $C(-4, 0)$。
D は B から $x$ 軸への垂線の足：$D(4, 0)$。

2

各三角形の面積を座標で表す

$P = \left(t,\ \dfrac{3}{4}t^2\right)$ として，3点の座標から面積公式を使います。

$$S_{\triangle CDP} = 3t^2, \quad S_{\triangle BCP} = \frac{1}{2}(48 + 12t - 6t^2)\ \ (0 < t < 4)$$

3

$S_{\triangle BCP} = S_{\triangle CDP}$ を解く

$$3t^2 = \frac{1}{2}(48 + 12t - 6t^2)$$

$$6t^2 = 48 + 12t - 6t^2 \implies 12t^2 - 12t - 48 = 0$$

$$t^2 - t - 4 = 0 \implies t = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$$

$0 < t < 4$ より $t = \dfrac{1 + \sqrt{17}}{2}$（$\approx 2.56$）。

POINT 面積を座標から求めるときは $\dfrac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$ の公式。範囲 $0 < t < 4$ での符号確認が正解の鍵です。